OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS

UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

BLOG#04

AUTORES:

TANNY KIMBERLY MERA TIZÓN

ANDRES ALEXANDER IBARRA ZAMBRANO

JHON ALEXANDER ARANDA LOPEZ

PRICIPIOS DE OPTIMIZACIÓN

TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN.

Principalmente se debe establecer la función objetivo que pueden ser las siguientes:

• Maximizar algún tipo de beneficio o salidas del sistema.
• Minimizar algún tipo de costos o entradas al proceso.

Con las restricciones relacionadas a balances de materia, balances de energía, ecuaciones de diseño y estipulación de algunas variables para llevar el proceso acabo.

Existen consideraciones de un grado de libertad o de varios, para lo cual tendríamos un caso de una sola variable o multivariable.

Consideraciones:

• Si las relaciones son lineales y las variables son continuas tendremos: un caso de Programación Lineal.

• En caso de no cumplirse con lo anterior tendremos un caso de Programación no Lineal.

• Si alguna variable es discreta se tiene un caso de Programación Entera.

OPTIMIZACION DE UNA VARIABLE.

Son de aplicación sencilla cuando se puede trabajar en los principios de cálculo diferencial, es decir la derivada de la función con respecto a la variable de interés igualada a cero proporciona el máximo o el mínimo que se busca optimizar.

Existen muchos casos ingenieriles donde se trabaja con el uso de tablas y gráficos para los cuales no puede utilizarse directamente los principios de derivación por lo cual se utilizan otros métodos de búsqueda.

La técnica de búsqueda se basa en eliminación por regiones, la sección objetivo se evalúa por puntos y se eliminan los puntos donde se obtengan los valores más bajos, este proceso se reitera hasta alcanzar el punto óptimo dentro de una aproximación deseada.

Gráficos unimodales y no unimodales.

El establecimiento de la función objetivo en un problema de optimización amerita un par de comentarios adicionales, pues representa un punto importante en esta área. La función objetivo no constituyente parte del modelo del sistema bajo estudio, de tal forma que no entra en la contabilidad de los grados de libertad del problema, sino que solo sirve de guía en la búsqueda de un valor óptimo.

Por otro lado, si la función objetivo no refleja con precisión el conflicto que típicamente quiere evaluarse en un problema de optimización entonces la solución óptima del problema bajo una formulación mal hecha es generalmente trivial.

 



MÉTODO DE LA SECCIÓN DORADA

La sección dorada o aurea, es el método más efectivo para optimizar una variable. Este se basa en la colocación de puntos de búsqueda simétricos de tal manera que cada iteración se conserve uno de los puntos para ser tomado como base para la selección del nuevo punto.

El cual a su vez debe conservar la simetría original pero acotando la solución óptima dentro de un intervalo de búsqueda menor.

La idea básica es economizar el número de evaluaciones de función y acotar la solución óptima en intervalos anidados sucesivos.

Esto se logra evaluando f(x) en dos puntos interiores de cada valor siendo Li (lado izquierdo); Ri (lado derecho) contenidos en (Ai,Bi) del problema, dependiendo de qué zona sea la que contenga el peor punto de los dos valores evaluados.

La clave del método es que el punto interior que permanece sin eliminar, Li o Ri, pueda usarse en la siguiente iteración.

Deducción del método

Comenzando con la estructura inicial, la cual define el intervalo inicial de la siguiente manera:

•        L₀ = b₀ – t(b₀ – a₀)
•         R₀ = a₀ – t(b₀ – a₀)

Ensayo de L₀=L₁

El valor de L₀ está dado por la ecuación anterior por lo tanto el valor de L₁:

O bien:

Igualando obtenemos:

 

Donde t=1 lo cual no es satisfactorio debido a que t debe ser un valor menor a uno para lograr una reducción del intervalo de búsqueda en cada iteración.

 

Ensayo de L₀=R₁

El valor de L₀ está dado por la ecuación anterior por lo tanto el valor de L₁:

 

Igualando obtenemos:

 

 

Donde ignorando la raíz negativa de esta ecuación cuadrática por carecer de significado tenemos que t=0.618.

Este resultado establece la base para el método de la sección dorada.

Reducción del intervalo

La contracción que se logra en el espacio de búsqueda por el método de la sección dorada está dada por:

 

(Guitierrez, 2003)

MÉTODO DE FIBONACCI

• Este método determina el mínimo valor de una función f sobre un intervalo cerrado [C₁,C₂]
• Esta función puede estar definida en un dominio más amplio, pero el método requiere que dicho intervalo de búsqueda sea definido.
• Se asume que f es unimodal

• El mínimo es determinado (al menos aproximadamente) mediante la evaluación en un cierto número de puntos.

• Se pretende definir una estrategia de búsqueda que seleccione la observación siguiente basada en los valores funcionales de las observaciones anteriores.

Esto se define según el siguiente problema:

Encontrar como seleccionar sucesivamente N observaciones, sin contar con un conocimiento explícito de la función, de forma tal que podamos encontrar la más pequeña región de incertidumbre posible en donde se encuentre el mínimo (valor de la función f)

Esta región de incertidumbre es determinada en cualquier caso por: las observaciones (sus valores funcionales) y la suposición de que f es unimodal.

Luego que encontremos los valores funcionales en N puntos dentro del intervalo cerrado [C₁,C₂]

La región de incertidumbre es el intervalo [x_k-1;x_k+1]donde x_k es el mínimo de los N puntos evaluados. En ese intervalo se encuentra el mínimo.

La estrategia para seleccionar sucesivamente observaciones para obtener la región de incertidumbre más pequeña se describe a continuación:

d₁=C₁-C₂: es la amplitud inicial de la incertidumbre.

d_k es la amplitud de la región de incertidumbre luego de k observaciones

Si son realizadas N observaciones se tiene que:

Donde F_k son los números de la secuencia Fibonacci generados por la relación:

 

Donde F₀ = F₁ = 1  

Donde cada número después de los dos primeros representa la suma de los dos precedentes.

Procedimiento para la reducción de la sección de incertidumbre:

Especificar N, y calcular los números de la serie Fibonacci {F₀,F₁…..F_N}

Calcular:

 

Colocar simétricamente desde los extremos del intervalo inicial a distancia  dos observaciones.

 

De acuerdo a donde se encuentre la muestra con menor valor funcional se determina la región de incertidumbre:

La tercera muestra es colocada simétricamente dentro de este nuevo intervalo con respecto a la observación ya incluida en el intervalo, de forma tal que la amplitud de la región de incertidumbre sea:

Zerpa L. Optimización para Ingenieros.

Bibliografía

Guitierrez, A. J. (2003). Diseño de procesos en Ingenieria Quimica. España: Reverte, S.A.